Teorema del Incremento Finito, Formulación Débil y Fuerte de una Ecuación Diferencial, Teorema del Valor Medio y Teorema de Rolle.

Teorema de los incrementos finitos.

si f(x) es una función de B en /R definida y continua en el intervalo cerrado [a,b] y devivable en el intervalo abierto (a,b) existe algun punto c, tal que la función de b menos la funcion de a entre el intervalo abierto a y b en igual a la derivadad de la función c o sea , la función de b menos la funcion de a es igual al intervalo abierto b menos a por la derivada de c.

seria la formula: f(b) - f(a)/(a,b) = f'(c) y queda f(b) - f(a) = (a,b) x f´(c), esto es la formula de incremento finito, y se aplica al calculo infitisimal y expresa el valor de un incremento de la variable por el valor de la derivada en el punto intermedio.

Formulación débil y fuerte de una ecuación diferencial

 

La ecuación Diferencial débil (o formulación variacional) de un problema definido mediante ecuaciones diferenciales es una forma alternativa en que dichas ecuaciones se escriben en forma integral, dando lugar a ecuaciones tratables mediante los métodos del álgebra lineal sobre un espacio vectorial de dimensión infinita o espacio funcional

Definición Diferencial Fuerte: Formulación diferencial cuya solución coincide con la de la formulación débil equivalente bajo determinadas condiciones de continuidad de ésta.

 

 

Teorema del valor medio

Historia

Un caso especial de este teorema fue descrito por primera vez por Paramésuara (1370–1460), de la escuela de Kerala de astronomía y matemáticas en la India, en sus comentarios sobre Govindasvāmi y Bhaskara II.¹​ Una forma restringida del teorema fue demostrada por Michel Rolle en 1691; el resultado fue lo que ahora se conoce como teorema de Rolle, y se demostró sólo para polinomios, sin las técnicas de cálculo. El teorema del valor medio en su forma moderna fue declarado y probado por Cauchy en 1823.²

 

Teorema del valor medio

El teorema del valor medio dice así:

Si tenemos una función f(x) continua en el intervalo cerrado [a,b] (tiene que ser continua en x=a y x=b) y derivable en el intervalo abierto (a,b) (no tiene por qué ser derivable ni en x=a ni en x=b), entonces, existe al menos un punto c, perteneciente al intervalo abierto (a,b), tal que en ese punto se verifica:

          Además f(a) y f(b) tienen que ser distintas.

Simbólicamente, lo podemos expresar así:

¿Y esto que significa?

Tenemos una función f(x) que es continua en [a,b], derivable en (a,b), como esta:

La pendiente de esa recta, tiene la siguiente fórmula:

Que corresponde a la pendiente de una recta que pasa por dos puntos.

Lo que dice el teorema del valor medio es que si se cumplen todas las condiciones anteriores, que hemos visto que sí, entonces existe al menos un punto c, en el cual, la recta tangente en ese punto, es paralela a la recta que pasa por los puntos A y B:

 

 

 

La ecuación de la pendiente de la recta tangente en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto. Por tanto, en el punto c, la ecuación de la pendiente de la recta tangente será:

 

Cuando dos rectas son paralelas, significa que tienen la misma pendiente, por lo que la pendiente de la recta tangente en el punto c y la pendiente de la recta que pasa por A y B son iguales y por tanto:  

El teorema del valor medio dice que existe al menos un punto c,  que verifica todo lo anterior, o en otras palabras, que puede existir más de un punto En este caso, como vemos en la gráfica de la función,  tenemos otro punto d donde la recta tangente a la función es paralela a la recta que pasa por A y B    Por tanto, en ese punto tambien se cumple                                                                            Teorema de Rolle El teorema de Rolle obtiene su nombre de Michel Rolle (1652 - 1719), un matemático  francés.Rolle fue uno de los primeros matemáticos en trabajar en el desarrollo del cálculo,  a pesar de que fue uno de los críticos de las bases de esta área.  Asimismo, es uno de los inventores del procedimiento conocido como eliminación  gausiana. Enunciado de teorema : Sea  una función que 1 es continua en , 2 es derivable en , 3 y cumple que . Entonces existe algún punto  tal que .  Gráficamente el teorema se interpreta como que existe un punto   en el que la recta tangente es parallela al eje-x  (siempre que se cumplan las hipótesis del teorema).  Justo como se observa la siguiente figura:

Si alguna de las hipótesis falla, entonces no podemos concluir que no existe punto tal que 

. Es decir, es posible que  y que todavía exista un punto  tal que .